平方の和

雑記

\sum_{k=1}^nk^2を求める公式をど忘れしてしまったので、導出しました。

しかし導出方法も完全に忘れました……。

1辺の長さが1,2,...,nの正方形を階段状に並べた図を考える。

\sum_{k=1}^nk^2は上図の斜線部の面積に等しい。

斜線部の面積は(大きい長方形の面積)-(点線部の階段部分の面積)で求めることができる。

長方形の面積は、n(1+2+3...+n)で求められる。

点線部の階段部分の面積は、[tex:*1\times1]で求められる。

よって、

\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^nk^2&=&n\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{l=1}^kl\\&=&n\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{k(k+1)}{2}}\\&=&n\sum_{k=1}^nk-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}k^2-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1}k\\&=&n\sum_{k=1}^nk-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k^2-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k+\frac{n^2+n}{2}\\&=&n\sum_{k=1}^nk-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k^2-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}k\\&=&n\sum_{k=1}^nk-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k^2+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}k\end{eqnarray*}

式を変形して、

\begin{eqnarray*}\frac{3}{2}\sum_{k=1}^nk^2&=&(n+\frac{1}{2})\sum_{k=1}^nk\\&=&(n+\frac{1}{2})\frac{n(n+1)}{2}\end{eqnarray*}

よって、

\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^nk^2&=&\frac{2}{3}(n+\frac{1}{2})\frac{n(n+1)}{2}\\&=&\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{eqnarray*}

なんかもっとうまいやり方あるような気がしますが一応導出できました。

それにしてもTeX記法なんてあったんですね……。初めて使いました。

ていうかTeXなんて書いたの数年ぶりです……。

*1:1)\times1+(1+2)\times1+...+(1+2+...+(n-1